En el conjunto R de los números reales, se cumple la siguiente propiedad: Sea x 2 R tal que x2 = x, entonces x = 0 ó x = 1; es decir, que si el cuadrado de un número real es igual a sí mismo entonces necesariamente dicho número real o bien es 0 o bien es 1. Si se supone la existencia de un elemento j tal que cumpla la propiedad j2 = j con j 6= 0 y j 6= 1, evidentemente j no es un número real, por lo que es posible extender los números reales, o sea que se puede introducir un nuevo conjunto numérico que contenga a los números reales y al número no real j, de manera tal que sus elementos sean de la forma a + bj, con a, b 2 R. A este nuevo conjunto se le llamará “El conjunto de los números Irreales”, y se le denotará como J. El presente documento se realizó con el interés de proponer y explorar un sistema numérico cuyos elementos se han denominado “números irreales”, donde se analizaron las posibles estructuras matemáticas en las que se puede enmarcar y concebir esta nueva extensión cuadrática de los números reales. Por lo tanto, se formuló en la medida de lo posible una teoría análoga a la de los números complejos, los números duales y los números dobles; indagando así sobre las propiedades y características básicas que los números irreales poseen, con el fin de generar definiciones, teoremas y conjeturas válidas en este nuevo conjunto, para finalmente concluir hechos matemáticos propios del sistema numérico de los números irreales.